1.4 计算机数的运算基础

1.4.1 进位计数制及相互转换

1.进位计数制

按进位的原则进行计数的方法称为进位计数制，简称进位制。人们在日常生活中习惯使用十进制，但二进制易于实现、存储、传输，所以计算机中采用二进制。而二进制不易于书写和阅读，因此又引入了八进制和十六进制。

1）十进制（后缀或下标D表示）

十进制计数原则：逢十进一

十进制的基数：10

十进制的数码：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

十进制数第K位的权：10K

第K位的权为基数的K次方，第K位的数码与第K位权的乘积表示第K位数的值。

例如：8846.78D=8×103+8×102+4×101+6×100+7×10-1+8×10-2。

该数中共出现三次数码8，但各自的权不一样，故其代表的值也不一样。

2）二进制（后缀或下标B表示）

二进制计数原则：逢二进一

二进制的基数：2

二进制的数码：0 1

二进制数第K位的权：2K

例如：11010101.01B=1×27+1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=213.25D。

N位二进制数可以表示2N个数。例如，3位二进制数可以表示8个数，如表1.3所示。

3）八进制（后缀或下标O表示）

八进制计数原则：逢八进一

八进制的基数：8

八进制的数码：0 1 2 3 4 5 6 7

八进制数第K位的权：8K

例如：127O=1×82+2×81+7×80=87D。

4）十六进制（后缀或下标H表示）

十六进制计数原则：逢十六进一

十六进制的基数：16

十六进制的数码：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

十六进制数第K位的权：16K

例如：64.4H=6×161+4×160+4×16-1=100.25D。

十六进制数、二进制数和十进制数的对应关系如表1.4所示。

2.不同进制数之间的转换

1）二进制数转换为十进制数

转换原则：按权展开求和。

例如：10001101.11B=1×27+0×26+0×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=141.75D。

八进制数和十六进制数转换为十进制数也同样遵循该原则，不再单独介绍。

2）十进制数转换为二进制数

十进制数转换为二进制数的原则：① 整数部分除基取余，逆序排列；

　　　　　　　　　　　　　　　② 小数部分乘基取整，顺序排列。

例如：将十进制数186和0.8125转换成二进制数。

所以：186D=10111010B，0.8125D=0.1101B。

十进制数转换为八进制数和十六进制数同样遵循该原则。

3）二进制数转换为十六进制数

由于十六进制的基数是2的幂，所以二进制数与十六进制数之间的转换是十分方便的。二进制数转换为十六进制数的原则：整数部分从低位到高位4位一组（不足补零），直接用十六进制数来表示；小数部分从高位到低位4位一组（不足补零），直接用十六进制数表示。

例如：将二进制数10011110.00111转换成十六进制数。

所以：10011110.00111B=9E.38H。

4）十六进制数转换为二进制数

十六进制数转换为二进制数的原则：十六进制数中的每一位用4位二进制数来表示。

例如：将十六进制数A87.B8转换为二进制数。

所以：A87.B8H=101010000111.10111000B。

八进制的基数同样是2的幂，因此二进制数与十六进制数之间的转换也遵循以上的原则，只是将原则中的4位改成3位。

例如：将二进制数11010110.110101转换成八进制数。

将八进制数746.42转换成二进制数。

所以：11010110.110101B=326.65O，746.42O=111100110.100010B。

3.八进制数和十六进制数运算

1）二进制数的运算

加法法则 乘法法则

0+0=0 0×0=0

0+1=1 0×1=0

1+0=1 1×0=0

1+1=0（进位1） 1×1=1

2）十六进制数的运算

十六进制数的运算遵循“逢十六进一”的原则。

（1）十六进制数加法。

十六进制数相加，当某一位上的数码之和S＜16时与十进制数进行同样处理。如果数码之和S≥16时，则应该用S减16及进位1来取代S。

例如：

（2）十六进制数减法。

十六进制数减法也与十进制数类似，够减时直接相减，不够减时服从向高位借1为16的原则。

例如：

十六进制数的乘除运算同样根据“逢十六进一”的原则处理，这里不再详述。

1.4.2 计算机中数和字符的表示

1.计算机中有符号数的表示

计算机中的数是用二进制来表示的，有符号数中的符号也是用二进制数值来表示。0表示“+”号，1表示“-”号，这种符号数值化之后表示的数称为机器数，它表示的数值称为机器数的真值。

为将减法变为加法，以方便运算简化CPU的硬件结构，机器数有三种表示方法：原码、反码和补码。

1）原码

最高位为符号位，符号位后表示该数的绝对值。例如：

[+112]原=01110000B；

[-112]原=11110000B。

其中最高位为符号位，后面的7位是数值（字长为8位；若字长为16位，则后面15位为数值）。

用原码表示时，+112和-112的数值位相同，符号位不同。

说明：

（1）0的原码有两种表示法。

[+0]原=00000000B；

[-0]原=10000000B。

（2）N位原码的表示范围为1-2N-1～2N-1-1。

例如：8位原码表示的范围为-127～+127。

2）反码

最高位为符号位，正数的反码与原码相同；负数的反码为其正数原码按位求反。例如：

[+112]反=01110000B；

[-112]反=10001111B。

说明：

（1）0的反码有两种表示法。

[+0]反=00000000B；

[-0]反=11111111B。

（2）N位反码表示的范围为1-2N-1～2N-1-1。

例如：8位反码表示的范围为-127～+127。

（3）符号位为1时，其后不是该数的绝对值。

例如：反码11100101B的真值为-27，而不是–101。

3）补码

最高位为符号位，正数的补码与原码相同；负数的补码为其正数原码按位求反再加1。例如：

[+112]补=01110000B；

[-112]补=10010000B。

说明：

（1）0的补码只有一种表示法：[+0]补=[-0]补=00000000B。

（2）N位补码所能表示的范围为-2N-1～2N-1-1。

例如：8位补码表示的范围为-128～+127。

（3）8位机器数中：[-128]补=10000000B，[-128]原和[-128]反不存在。

（4）符号位为1时，其后不是该数的绝对值。

例如：补码11110010B的真值为-14，而不是-114。

有符号数采用补码表示时，就可以将减法运算转换为加法运算。因此计算机中有符号数均以补码表示。

例如：X=84-16=（+84）+（-16）→[X]补=[+84]补+[-16]补。

[+84]补=01010100B。

[-16]补=11110000B。

所以：[X]补=01000100B，即X=68。

在字长为8位的机器中，第7位的进位自动丢失，但这不会影响运算结果。机器中这一位并不是真正丢失，而是保存在程序状态字PSW中的进位标志Cy中。

又如：X=48-88=（+48）+（-88）→[X]补=[+48]补+[-88]补。

[+48]补=00110000B。

[-88]补=10101000B。

所以：[X]补=11011000B，即X=-40。

为进一步说明补码如何将减法运算转换为加法运算，我们举一个日常的例子：对于钟表，它所能表示的最大数为12点，我们把它称之为模，即一个系统的量程或所能表示的最大的数。若当前标准时间为6点，现有一只表为9点，可以有两种调时方法。

① 9-3=6（倒拨）。

② 9+9=6（顺拨）。

即有9+9=9+3+6=12+6=9-3。

因此对某一确定的模，某数减去小于模的一数，总可以用加上该数的负数与其模之和（即补码）来代替。故引入补码后，减法就可以转换为加法。

补码表示的数还具有以下特性。

[X+Y]补=[X]补+[Y]补

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补

如表1.5所示为N=8和N=16时N位补码数的表示范围。

2.无符号整数

在某些情况下，处理的全是正数时，就不必再保留符号位。我们把最高有效位也作为数值处理，这样的数称之为无符号整数。8位无符号数表示的范围为0～255。

计算机中最常用的无符号整数是表示存储单元地址的数。

3.字符表示

字母、数字、符号等各种字符（例如，键盘输出的信息或打印输出的信息都是按字符方式输出）按特定的规则，用二进制编码在计算机中表示。字符的编码方式很多，最普遍采用的是美国标准信息交换码ASCII码。

ASCII码是7位二进制编码。计算机中用一个字节表示一个ASCII码字符，最高位默认为0，可用做校验位，如表1.6所示。

相关机器码间关系如表1.7所示。