工作任务二 平面壁上静水总压力的计算

水利工程中，常需要计算作用在建筑物上的静水总压力，而建筑物的受压面有平面和曲面之分。例如大坝的坝面、水池的池壁、平板闸门等为平面壁，弧形闸门、拱坝坝面、闸墩及边墩等为曲面壁。两类受压面所受的总压力的计算方法是不同的，本工作任务介绍平面壁上静水总压力的计算方法。

平面壁又分为矩形平面和任意平面，其中矩形平面可用图解法计算静水总压力，任意平面可用解析法计算静水总压力。

一、矩形平面壁上静水总压力的图解法

图解法的使用条件是矩形平面表示宽度的一边必须平行水面，否则不能应用。

图解法计算静水总压力的思路为：先绘制静水压强分布图，再根据公式确定静水总压力的大小、方向、作用点。

（一）静水压强分布图

在水利工程中表面压强多为大气压，由静水压强基本公式p=γh可知，静水压强p与水深h呈线性函数关系，把受压面上压强与水深的这种函数关系表示成几何图形，即静水压强分布图。

绘制静水压强分布图的具体做法为：

（1）用公式p=γh来确定水中任一点压强的大小，用一定的比例线段代表该点静水压强的大小。

（2）根据静水压强的特性确定其方向，用箭头表示静水压强的方向，必须垂直并指向受压面。

（3）连接上下线段的尾部构成几何图形，即为受压面上的静水压强分布图。

【例题1-5】绘制矩形闸门AB平面的静水压强分布图，如图1-14所示。

解：首先确定A、B两点静水压强的大小，p_A=0，p_B=γH；再画线段，A点的长度为0，B点静水压强方向是垂直并指向AB面，静水压强大小为p_B=γH；连接A、B两点线段的尾端A、C；标注B点线段所表示的压强数值γH，p_A=0可不必标注；最后，在图形内部画若干带箭头的线条表示各点的压强大小及方向。

图1-15是工程中有代表性受压面的相对压强分布图。

对于建筑物上、下游都受水压力的情况，静水压强分布图可以叠加。图1-15（b）为上下游静水压强没有叠加，图1-15（e）则为上下游静水压强进行了叠加。

（二）静水总压力计算

计算静水总压力包括确定静水总压力的大小、方向和作用点。

1.静水总压力的大小

静水总压力一般用P表示。如图1-16所示为一任意斜置的矩形平板闸门AB，闸门宽度方向与水面平行。闸门长度为 l，宽度为b，A点的水深为h₁，B点的水深为h₂。在水面下任一深度h处取微小面积dA，dA=bdy，因微小面积dA上各点的压强均为p，则微小面积dA上的静水压力为dP=pbdy。所以，整个受压面上的静水总压力为：

由于是压强分布图面积Ω，即整个矩形面积所受的静水总压力等于压强分布图面积Ω乘以受压面宽度b，即

P=Ωb

当压强分布图为梯形时，静水总压力为：

当压强分布图为三角形时，静水总压力为：

2.静水总压力的方向

静水总压强的方向总是垂直并指向受压面，因此静水总压力的方向必然垂直并指向受压面。

3.静水总压力作用点

静水总压力的作用点可根据合力矩定理来确定。总压力P作用点应在受压面的纵向对称轴0—0上，同时，总压力P的作用线必然通过压强分布图的形心O。静水总压力的位置用压力中心 D至受压面底边缘的距离e表示，由压强分布图的面积特性可知：

对梯形分布图：

对三角形分布图：

式中 h₁、h₂——受压面上、下边缘的水深；

l——受压面长度。

4.沿水深等宽的矩形受压平面静水总压力的图解步骤

（1）绘制静水压强分布图。

（2）计算静水压强分布图的面积Ω。

（3）计算静水总压力的大小P=Ωb。

（4）确定压力中心的位置e。

【例题1-6】图1-17所示为一渠道上设置的水平闸门，已知闸门宽b=4m，闸门在水深H=2.5m条件下工作。试求：

（1）当闸门铅直放置时所受的静水总压力是多少?

（2）当闸门斜放α=60°时受到的静水总压力又是多少?

解：（1）当闸门铅直放置时。

压强分布图面积：

静水总压力大小：P=Ωb=30.63×4=122.5（kN）

静水总压力方向：垂直指向受压面。

静水总压力作用点：

（2）当闸门斜放α=60°时。

压强分布图面积：

静水总压力大小：P=Ωb=35.36×4=141.46（kN）

静水总压力方向：

静水总压力作用点：

二、任意平面上的静水总压力的解析法

如图1-18所示为倾斜放置于水中的任意形状的受压面EF，该受压面与水平面的夹角为α，面积为A，形心点位C。

为便于分析，取坐标平面xoy与受压面EF重合，ox轴垂直于纸面，oy轴沿平面EF方向，将ox轴绕oy轴旋转90°，就可以将受压面EF转展在纸面上。

1.静水总压力的大小

在受压面EF上M点任取微小面积dA，该微小面积dA处的水深为h，因为dA极小，可认为dA上各点压强都等于γh，则dA上的静水总压力为：

dP=pdA=γhdA

整个受压面上的静水总压力为：

由工程力学可知，为EF面对ox轴的面积矩，其值等于平面EF的面积A与其形心坐标y_C的乘积，因此

式中 h_C——平面EF的形心C点处的水深；

p_C——形心C点的静水压强。

上式表明：任意形状平面壁上所受静水总压力的大小，等于受压面形心点的静水压强与受压平面面积的乘积。

2.静水总压力的方向

静水总压力的方向垂直并指向受压面。

3.静水总压力作用点

设静水总压力的作用点为D点，其坐标为（x_D，y_D），确定D点的位置，即求解其坐标值x_D、y_D。

水利工程中的受压面常为具有纵向对称轴的对称平面，静水总压力的作用点必位于对称轴上，所以一般无需计算x_D，只需计算静水总压力作用点的纵向坐标y_D即可。

利用理论力学中的合力矩定理，即合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和，首先对ox轴求力矩：

上式中，表示平面EF对ox轴的惯性矩。

根据惯性矩的平行移轴定理可得：

I_ox=I_C+y²_CA

式中 I_C——面积A对通过其形心且与ox轴平行的轴的惯性矩；

y_C——受压面形心点C至ox轴的距离。

由于，故一般情况下y_D&gt；y_C，即作用点在受压面形心以下。只有当受压面水平时，D点才会与C点重合。

计算常见平面壁静水总压力及其作用点位置时，可参阅表1-1。

【例题1-7】如图1-19所示，在渠道侧壁上，开有圆形放水孔，放水孔直径d=1m，孔顶至水面深度h=2m，试求放水孔闸门上的静水总压力。

解：本题属任意形状平面壁上静水总压力计算。

静水总压力的大小：

静水总压力的方向：垂直指向受压面。

静水总压力的作用点：

所以，静水总压力的作用点与水面距离为2.53m。

【例题1-8】设有一铅直放置的水平底边矩形闸门，如图1-20所示。已知闸门高度H=2m，宽度b=4m，闸门上缘到水面的距离为h₁=1m。试分别用图解法和解析法求解作用于闸门的静水总压力。

解：（1）图解法。

绘制静水压强分布图ABFE，如图1-20所示。则静水总压力大小为：

静水总压力的方向：垂直指向闸门平面。

静水总压力的作用点：

所以，静水总压力作用点距离闸门底部的距离为0.83m，其距离水面的距离为2.17m。

（2）解析法。

解析法计算静水总压力公式为：

静水总压力的方向：垂直指向闸门平面。

静水总压力的作用点：

所以，静水总压力作用点距离水面的距离为2.17m。