2.4.3 动态结构图的等效变换
动态结构图的等效变换的目的是通过对框图的变换、简化，来求取闭环系统的输入、输出的传递函数或输出响应。对动态结构图逐步等效变换、简化的过程，相当于由系统组成环节方程组消去中间变量的过程。不论那些多回路的系统框图如何交错复杂，都可通过移动分支点、比较点，解除回路的交叉将复杂的框图等效变换后，按照环节基本连接规律进行合并、简化，达到等效变换的目的。
框图的变换按照等效原则进行。所谓等效，就是对框图中的任一部分进行变换时，变换前后，输入输出的数学关系式保持不变，即在动态结构图等效变换前后，要遵循前向通路传递函数的乘积不变，回路传递函数的乘积不变的原则。
1.环节的基本连接规律
环节的基本连接方式只有串联、并联、反馈3种。每一种基本连接都能将参与连接的两个或多个环节合并为一个“等效环节”，使系统动态结构图得到简化。
（1）串联
动态结构图中，几个方框依次首尾连接，前一个方框的输出是后一个方框的输入，方框间没有其他的连接点，这种连接方式称为串联连接。图2-41a是两个方框的串联连接（如前所述，串联环节间应该无负载效应）。由图2-41a可知
图2-41 串联结构动态结构图的等效变换
消去中间变量X(s)有
可见，环节串联后的传递函数等于参与串联的各个环节的传递函数的乘积。即将图2-41a参与串联的两个环节简化合并为图2-41b的一个等效环节。
由此可以推广到动态结构图中n个方框串联的情况，其等效传递函数就是n个环节传递函数的乘积，即G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)。
（2）并联
在动态结构图中，几个方框具有相同的输入信号，且它们的输出在同一综合点处相叠加，这种连接方式称为并联连接。图2-42a是两个方框的并联连接。
图2-42 并联结构动态结构图的等效变换
由图2-42a可知
消去中间变量X1(s)、X2(s)有
环节并联后的传递函数等于参与并联的各个环节的传递函数的代数和。即将图2-42a参与并联的两个环节简化合并为图2-42b的一个等效环节，符号在进入综合点的信号线上标注。
同样，可以推广到动态结构图中n个方框并联的情况，其等效传递函数就是并连的n个方框的传递函数代数相加，即G(s)=G1(s)±G2(s)±…±Gn(s)。
（3）反馈
在动态结构图中，系统或环节的输出信号反馈到输入端，并与输入信号代数相加，如图2-43a所示，这种连接方式称为反馈连接。在反馈连接中，如果反馈信号的极性与输入信号极性相反，则称为负反馈，在反馈信号进入比较点时用负号“-”标注；反之，极性相同则称为正反馈，反馈信号线上用正号“+”标注。
图2-43 反馈结构动态结构图的等效变换
由于反馈信号的传递形成了闭合回路，故称其为闭环系统。通常，称信号输入点到输出点的信号通道为前向通道，将输出信号反馈到比较点的信号通道叫作反馈通道。系统输出Y(s)与输入R(s)之比，称为闭环传递函数，用Φ(s)表示。
以负反馈为例，由图2-43a可知
式中E(s)=R(s)-B(s)称为偏差信号。消去中间变量E(s)、B(s)有
式（2-100）分母中G(s)H(s)称为闭环系统的开环传递函数，是系统前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积。
如果系统是正反馈，则闭环传递函数为
若式（2-100）中H(s)=1，称为单位负反馈系统，则闭环传递函数为
相应称H(s)≠1的系统为非单位反馈系统，图2-43a所示的非单位反馈系统可等效为图2-44所示单位反馈部分与传递函数为1/H(s)的环节的串联，即
图2-44 非单位反馈结构的等效变换
2.系统动态结构图的变换和简化
由控制系统的动态结构图求取系统闭环传递函数或输出响应时，有时为便于进行环节串联、并联、反馈连接的运算，还需对引出点和综合点进行等效移动，以解除复杂动态结构图中出现的回路或信号交叉。等效移动的目的是进一步简化结构图，一般避免进行相邻引出点（分支点）与综合点的互换；此外信号线上的“±”号可以越过环节和信号线移至综合点上。
（1）引出点的等效移动
1）引出点的前移。引出点前移的等效变换如图2-45所示，在引出点移动的前后要保持输出的一致性。即在引出点移动前后都有
2）引出点的后移。引出点后移的等效变换如图2-46所示，同样在引出点移动的前后要保持前后输出的一致性。如图2-46a所示，在引出点移动前有
如图2-46b所示，引出点移动后
可见，保持了引出点移动前后输出的一致性。
图2-45 引出点前移的等效变换
图2-46 引出点后移的等效变换
（2）综合点的等效移动
1）综合点的前移。综合点前移的等效变换如图2-47所示，在综合点移动的前后要保持输出的一致性。如图2-47a，在综合点移动前有
如图2-47b，综合点移动后有
由式（2-107）和式（2-108）可知，综合点在移动前后其输出没有变化，保证了系统化简前后的等效性。
2）综合点的后移。综合点后移的等效变换如图2-48所示，同样在综合点移动的前后要保持输出的一致性。如图2-48a，在综合点移动前有
如图2-48b，综合点移动后有
由式（2-109）和式（2-110）可知，综合点在移动前后其输出相等。
图2-47 综合点前移的等效变换
图2-48 综合点后移的等效变换
（3）相邻引出点的移动和合并
相邻的引出点之间可以任意地交换位置，并且可以依据实际情况进行合并。如图2-49所示，这样的变换并不影响信号的传递关系。
图2-49 相邻引出点的移动和合并
（4）相邻综合点的移动和合并
相邻的综合点之间同样可以任意地交换位置，并且可以依据实际情况进行合并，如图2-50所示。要注意的是，只有相邻的同类点可以进行任意的移动和合并，相邻的异类点之间不能作任意的移动和合并，如图2-51所示。异类点之间的移动变换较复杂，一般情况下不建议进行异类点的移动。
图2-50 相邻综合点的移动和合并
图2-51 相邻异类点的错误移动
应用以上动态结构图等效变换的法则，将复杂的动态结构图等效变换成串联、并联或反馈的连接形式，就可以很容易求得控制系统的传递函数。
例2-19 试简化例2-18无源网络在考虑负载情况下的动态结构图（图2-39和图2-40），并求取系统传递函数。
解：对于动态结构图图2-39，不做引出点或者综合点的移动，就无法完成框图的简化。对同一动态结构图，其等效变换方法不止一种，在这里只介绍其中一种。首先可以将环节1/R1和环节1/C1s之间的综合点前移到环节1/R1的输入端，将环节1/R2环节1/C2s之间的引出点后移到环节1/C2s的输出端，如图2-52a，这样就形成了相邻的同类点，交换同类点，就消除了框图中的信号交叉，如图2-52b，然后应用反馈结构的等效法则，就可以完成动态结构图的等效变换，如图2-52c所示。
图2-52 图2-39动态结构图的等效交换
最后可以求出系统的传递函数为
对于动态结构图图2-40，可以先将环节1/C2s后的引出点前移，如图2-53a，就可以消去一个综合点，如图2-53b，然后框图就可以变成一个外环反馈包含一个内环反馈的结构，如图2-53c，这样通过反馈结构的化简方法先化简内环反馈，再化简外环反馈，就可以得到系统的传递函数。
最后可以求出系统的传递函数为
图2-53 图2-40动态结构图的等效变换
比较式（2-111）和式（2-112），可以看到，对于同一系统，选取的中间变量不一样，其动态结构图会不同，但是最后求得的系统的传递函数是一样的。
例2-20 试简化2-54所示动态结构图，并求取系统的传递函数。
解：对于图2-54所示动态结构图，可以想办法合并相邻同类点，然后一层一层地化简。例如可以将G2(s)前面的引出点后移，如图2-55a所示，就可以先化简掉一个并联结构，如图2-55b所示，接着将G2(s)前面的引出点前移，就消除了动态结构图中所有的交叉信号线，如图2-55c所示，然后对图2-55c中的小内环反馈结构和外部的并联结构进行化简，就可以得到图2-55d，最后应用反馈结构的化简方法就可以得到系统的传递函数。
图2-54 动态结构图
最后可以求出系统的传递函数为
图2-55 例2-20的动态结构图等效变换过程