1.14 σ域*

如前所述，定义1.2是不完整的.当事件集不可数时，有必要限制可允许的事件集，以排除病态情况.这是一个技术问题，对实际计量经济学影响不大.然而，由于这个术语很常用.了解下述定义是有帮助的.概率的正确定义如下.

定义1.5 概率函数 （probability function）. P是从σ域B到实数轴且满足三条概率公理的函数.

与之前不同的是，定义1.5将定义域限制在σ域B上.后者是对集合运算封闭的一组集合.该限制意味着存在一些事件，其概率无法定义.

σ域的定义如下.

定义1.6 如果一组集合B满足下述三条性质：

1.∅∈B.

2.如果A∈B，则Ac∈B.

3.如果A1, A2,···∈B，则.

则B被称为σ域（sigma field）.

性质3的无穷并表明，存在i使得Ai的元素都属于无穷并.例如，.

另外，σ域也称为“σ代数”.下面给出σ域的一个重要例子.

定义1.7 称R中包含所有开区间（a, b）的最小σ域为博雷尔σ域（Borel sigma field）.它包含了所有的开区间、闭区间，及其可数并、交和补.

σ域可由一组包含事件交、并和补的有限集合生成（generated）.以抛硬币试验为例.从事件{H}开始，它的补集为{T}，并集为S={H, T}，并集的补集为{∅}.由于不能再生成任何事件，集合{{∅},{H},{T},S}是一个σ域.

再考虑正实数轴，以[0, 1]和（1, 2]为例.其交集为{∅}，并集为[0, 2]，它们的补集分别为（1,∞），[0, 1]∪（2,∞），（2,∞）.进一步，{∅}的补集为[0,∞）.由于不能再生成任何事件，这些集合构成一个σ域.

当考虑无穷多的事件时，由于存在病态的反例，可能不能通过集合运算生成σ域.这些反例是很难确定的，并且不直观，而且似乎对计量经济学实践没有实际意义.因此，计量经济学中通常忽略此问题.

σ域的概念确实具有技术性！这个概念在本书中不会再使用.