习题

1.1 令A={a, b, c, d}, B={a, c, e, f}.

（a）求A∩B.

（b）求A∪B.

1.2 描述下列实验的样本空间S.

（a）抛一枚硬币.

（b）掷一个六面骰子.

（c）掷两个六面骰子.

（d）投六次罚球（在篮球比赛中）.

1.3 从52张扑克牌中抽出五张牌，组成一手牌.

（a）令A表示事件“一手牌中有两张K”，描述Ac.

（b）顺子表示五张连续的牌，例如{5, 6, 7, 8, 9}.同花表示五张牌是同一花色.令A表示事件“一手牌是顺子”，B表示事件“一手牌中三张同点”.A和B是否相交？

（c）令A表示事件“一手牌是顺子”，B表示事件“一手牌是同花顺”.A和B是否相交？

1.4 对事件A和B，用P[A]，P[B]和P[A∩B]表示“A或B发生但不能同时发生”的概率.

1.5 如果P[A]=1/2，P[B]=2/3，A和B是不相交的吗？请给出解释.

1.6 证明P[A∪B]=P[A]+P[B]-P[A∩B].

1.7 证明P[A∩B]≤P[A]≤P[A∪B]≤P[A]+P[B].

1.8 设A∩B=A.A和B可以独立吗？如果可以，请给出适当的条件.

1.9 证明

P[A∩B∩C]=P[A|B∩C]P[B|C]P[C]

设P[C]＞0且P[B∩C]＞0.

1.10 两个不等式P[A|B]≤P[A]，P[A|B]≥P[A]哪个成立？或者二者均不成立？

1.11 请举例说明P[A]＞0，但是P[A|B]=0成立.

1.12 请计算下列关于从一副标准牌（52张）中抽取特定牌的概率.

（a）抽取一张牌是K.

（b）抽取两张牌，给定第一张牌是K的条件下，抽到第二张牌是K.

（c）抽取两张牌都是K.

（d）抽取两张牌，给定第一张牌不是K的条件下，抽到第二张牌是K.

（e）抽取两张牌，当第一张牌朝下放置时（所以是未知的），抽到第二张牌是K.

1.13 你参加了一个游戏节目，主持人向你展示了标有A，B，C，D，E的五扇门.主持人说其中一扇门后面有奖品，如果你选择了正确的门，你就能赢得奖品.根据上述信息，你会用什么概率分布来模拟正确门的分布？

1.14 对于公平硬币和骰子，计算下面事件的概率.

（a）在抛三次硬币的实验中，得到连续三次正面朝上.

（b）给定前一次硬币反面朝上，得到正面朝上.

（c）在抛两次硬币的实验中，给定至少一次正面朝上，得到两次正面朝上.

（d）在掷一对骰子的实验中，掷出一个6.

（e）在掷一对骰子的实验中，掷出一个“蛇眼”.（得到一对1.）

1.15 如果从一副扑克牌中随机抽出四张牌，四张都是A的概率是多少？

1.16 假设患某种疾病的无条件概率为0.0025.某种筛选测试能检测出这种疾病的概率为0.9，假阳性率为0.01.给定检测结果为阳性的条件下，某人患这种疾病的概率是多少？

1.17 假设有1%的运动员使用违禁类固醇药物.假设某项药物测试对这种疾病的检测率为40%，假阳性率为1%.如果某名运动员检测结果呈阳性，那么该运动员服用违禁类固醇药物的条件概率是多少？

1.18 有时我们使用条件独立（conditional independence）的概念，其定义如下.令A, B , C表示具有三个正概率的事件.如果P[A∩B|C]=P[A|C]P[B|C]，则称A和B在给定C的条件下是条件独立的.令A={第一个骰子为6点}，B={第二个骰子为6 点}，C={两个骰子点数相同}.证明A和B是独立的（无条件下），但给定C，A和B是相依的.

1.19 蒙特霍尔（Monte Hall）.这是一个著名的（且出乎意料的难）问题，它基于美国一档由蒙特霍尔主持的老的电视游戏节目“让我们做个交易”.节目的标准流程如下：要求参赛者从三扇相同的门A，B，C中选择一扇.奖品在三扇门中的一扇后.如果参赛者选择了正确的门，将获得奖品.参赛者选了一扇门（比如A门），但没有立即打开它.为了增加戏剧性，主持人打开了剩下的两扇门中的一扇（比如B门），且这扇门后没有奖品.然后，主持人提出一个建议“你可以改变你的选择”（比如换到C门）.可以想象，参赛者可能做出了以下（a）～（c）的推理之一.对这三个推理分别进行评论，它们是否正确？

（a）“当我选择A门时，拥有奖品的概率是1/3.并没有其他信息透露.所以A门有奖品的概率仍然是1/3.”

（b）“原本每扇门后有奖品的概率是1/3.现在B门被排除了，A门和C门有奖品的概率变为1/2.我仍选择A门还是变到C门都无所谓.”

（c）“主持人无意间透露了信息.如果C门后有奖品，他会被迫打开B门.如果B门后有奖品，他将被迫打开C门.因此，很可能C门后有奖品.”

（d）假设每个门后有奖品的概率为1/3.分别计算A门和C门后有奖品的概率.你对参赛者的建议是什么？

1.20 在21 点游戏中，你要从一副标准牌中抽取两张，你的得分是两张牌的点数之和，其中数字牌的得分由其数字决定，J，Q和K计10分，A计1分或11分（由玩家选择）.21 点（blackjack）是指两张牌的得分是21，因此需要一张A和一张10分牌.

（a）抽到的牌是21点的概率是多少？

（b）庄家的两张牌一张正面朝下、一张正面朝上展示.假设“展示”的牌是A.庄家是21点的概率是多少？（简单地，假设你没看到其他任何牌.）

1.21 考虑从一副标准扑克牌中随机抽出五张牌.计算以下概率.

（a）顺子（五张连续的牌，花色可以不同）.

（b）同花（五张牌花色相同，顺序可以不同）.

（c）满堂红（三张同点，剩余为一对，例如三张K和两张“3”）.

1.22 在扑克游戏“五张抽”中，玩家首先收到随机抽取的五张牌.玩家可决定丢弃一些牌，然后得到替换的牌.假设玩家拿到的牌是一对和三张不相关的牌，并决定丢弃这三张不相关的牌得到替换的牌.计算替换后下列牌型的条件概率.

（a）得到四张同点.

（b）得到三张同点.

（c）得到两对.

（d）得到顺子或同花.

（e）仍然是一对.

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[1] σ域中事件的定义见1.14节.

[2] 由1950年至2017年S&P500周数据的样本计算得到.

[3] 由2009年美国50742个工薪族的样本计算得到.

[4] 根据2009年50742名美国工薪族的样本计算得出.

[5] 要想知道更合理的结果，进入体育酒吧去了解真相吧！

[6] 当你（或你的朋友）说“我没有什么可穿的”时，请牢记这一点.

[7] 也存在其他赢得奖金的组合规则.

[8] 隔板法.该方法因为William Feller在其经典教材An Introduction to Probability Theory and Its Applications中使用“*”和“|”阐述其原理而广为流传，故形象地称为“stars and bars theorem”——译者注.

[9] 我们忽略了经典规则中涉及的其他复杂情况.