2.7 分布函数

随机变量可用其分布函数来表示.

定义2.7 事件{X≤x}的概率称为分布函数F（x）=P[X≤x].

F（x）也称为累积分布函数（cumulative distribution function，CDF）.常简写为X～F，即“随机变量X具有分布函数F”或“随机变量X服从F”.符号“～”表示左边的变量具有右边的分布.

通常使用大写字母表示分布函数.尽管可以使用任何记号，最常用的是F.如果需要指明随机变量，在写分布函数时加下标X，即FX（x）.下标X表示X的分布为FX.其中“x”可以使用任意的符号，如把分布函数记为FX（t）或FX（s）.当只考虑一维随机变量时，我们把分布函数简记为F（x）.

对支撑点为τj的离散随机变量，支撑点处的累积分布函数为小于j的累积概率和，即

支撑点间的累积分布函数是常数.因此，离散随机变量的累积分布函数是一个阶梯函数，每个支撑点都有大小为π（τj）的跳跃.

图2-4展示了图2-2中两个例子的分布函数.

由图可知，每个分布函数都是一个阶梯函数，阶梯在支撑点处.因为支撑点的概率不等，所以跳跃的大小是不同的.一般地（不仅对离散随机变量成立），累积分布函数具有以下性质.

定理2.2 累积分布函数的性质.若F（x）是一个分布函数，则

1.F（x）是非降的.

2..

3..

4.F（x）是右连续的，即.

性质1和性质2由概率公理（概率是非负的）的第一条推出.性质3是概率公理的第二条.性质4表明F（x）在阶梯处左不连续，但右连续.这条性质由分布函数P[X≤x]的性质推出.如果分布函数的定义为P[X＜x]，则F（x）是左连续的.