1.4 概率函数的性质

由概率公理可推导出概率函数的如下性质.

定理1.2 对事件A和B，下列性质成立：

1.P[Ac]=1-P[A].

2.P[∅]=0.

3.P[A]≤1.

4.单调不等式：若A⊂B，则P[A]≤P[B].

5.容斥原则（inclusion-exclusion principle）：P[A∪B]=P[A]+P[B]-P[A∩B].

6.布尔不等式：P[A∪B]≤P[A]+P[B].

7.Bonferroni不等式：P[A∩B]≥P[A]+P[B]-1.

证明见1.15节.

性质1表明某事件不发生的概率等于1减去该事件发生的概率.

性质2表明“没有事件发生”的概率是0.（在被问到“课上发生了什么时”，请牢记这一点.）

性质3表明概率不能超过1.

性质4表明较大的事件集发生的概率较大.

性质5是计算两个事件的并时的一个有用的分解.

性质6和性质7蕴含在容斥原则中，在概率计算中经常使用.布尔不等式表明事件并的概率小于或等于单个事件概率之和. Bonferroni不等式表明事件交的概率大于或等于单个事件概率的函数.这些不等式的一个有用特征是不等号右边只依赖单个事件的概率.

进一步，一个与性质2相关的定义是任何以概率0或1发生的事件称为平凡的（trivial）.这种事件本质上是非随机的.在抛一枚硬币的试验中，定义样本空间{H, T, Edge, Disappear}，其中“Edge”表示硬币沿着边缘立住，“Disappear”表示硬币消失在空中.若P[Edge]=0且P[Disappear]=0，则这些事件是平凡的.