1.3 概率函数

定义1.2 若函数P把事件[1]映射到一个数值，且满足下述概率公理（axiom of probability）：

1.P[A]≥0.

2.P[S]=1.

3.若A1, A2,···互不相交，则.

则称函数P为概率函数（probability function）.

在本书中，利用记号P[A]表示事件A发生的概率.其他常用的记号有P（A）或Pr（A）.

让我们来检查该定义.“函数P将事件映射到一个数值”表示P是定义在事件上，映射到实数轴的函数.因此，概率是数.现考虑公理.公理1表明概率是非负的.公理2本质上是概率的规范性：全集发生的概率为1.

公理3规定了一种重要的结构，它表明概率在不相交的事件上是可加的，即若A和B是不相交的，则

P[A∪B]=P[A]+P[B]

例如，在掷一个六面骰子的试验中，可能的结果为{1, 2, 3, 4, 5, 6}.由于结果是互不相交的，根据公理3，P[1或2]=P[1]+P[2].

需要特别注意，公理3只适用于不相交事件.例如，在掷一对骰子试验中，令事件A表示“第一个骰子的1正面朝上”，事件B表示“第二个骰子的1正面朝上”.如果记P[“任一骰子1正面朝上”]=P[A∪B]=P[A]+P[B]，则第二个等号是不成立的，因为A和B的交集非空：结果“两个骰子均是1正面朝上”既是A又是B的元素.

任一满足三条公理的函数P都是一个合理的概率函数.在抛一枚硬币的试验中，令P[H]=0.5且P[T]=0.5（通常称为一个公平硬币），则函数P是一个合理的概率函数.另一个合理的概率函数可设P[H]=0.6且P[T]=0.4.然而，设P[H]=-0.6不是合理的（违背了公理1）.设P[H]=0.6和P[T]=0.6也不是合理的（违背了公理2）.

尽管概率的定义给出了概率函数必须满足的条件，但是并没有描述概率的含义（meaning）.这是因为概率有多种解释.一种观点认为，在受控实验中，概率是试验结果的相对频率（relative frequency）.股市上涨的概率是上涨的频率.失业时间超过一个月的概率是失业时间超过一个月的频率.篮球运动员罚球命中的概率是该运动员罚球命中的频率.衰退发生的概率是衰退发生的频率.在某些例子中，由于试验是可重复的或结果多次发生，故这种概率的定义是直观的.但在其他情况下，试验只能进行一次且无法重复.例如，在写这一段落时，人们普遍关心的不确定性问题包括：“全球变暖会超过2℃ 吗？”“COVID-19流行病何时结束？”在这些情况下，由于结果只能发生一次，很难把概率解释为频率.通过想象在相同的初始条件下，在不同宇宙进行随机试验，从而抽象地看待“相对频率”来挽救这种解释.虽然这种解决方案技术上是可行的，但并不能让人完全满意.

另一种观点认为概率是主观的，把概率解释为可信度（degree of belief）.“明天下雨的概率是80%”是我根据所掌握的信息，对明天下雨的可能性做出个人主观评估.由于信念是任意的，该观点似乎过于宽泛.主观解释要求主观概率遵循概率公理和规则，主要缺点是不一定适合于科学论述.

上述两种观点定义的概率函数都需要满足相同的概率公理，否则就不能使用“概率”这个概念.

下面考虑两个真实世界的例子来说明这个概念.第一个例子来自金融市场.用U表示指定某周S&P500指数增长，D表示该指数降低.这与抛硬币试验类似，样本空间为{U, D}.计算P[U]=0.57, P[D]=0.43[2].增长的概率是57%，比公平硬币正面朝上的概率高一些.可解释为在随机选择的所有“周”中，57%的周指数会增长.

第二个例子考虑美国工资水平.以随机选择的工薪族为例.令H表示事件某人工资超过25美元/小时，L表示事件某人工资低于25美元/小时.这与抛硬币试验类似.计算P[H]=0.31, P[L]=0.69[3].为了解释这个概率，想象随机调查一个人.在调查之前，对这个人一无所知，故他的工资是不确定的和随机的.